martes, 11 de noviembre de 2014

Notas sobre el concepto de número


El concepto de número natural que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica.
En álgebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo especial de número. Conviene pues, considerar como se han ampliado el campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos más adelante, el número natural no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los casos, Baste con el momento, dado el nivel matemático que alcanzaremos, explicar cómo se ha llegado al concepto de número real.
Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos haga conocer la gradual aparición de las distintas clases de números; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades materiales han obligado a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos. Este doble criterio justificable por la índole didáctica, permitirá al principiante alcanzar una comprensión clara del concepto formal (abstracto) de los números reales.

lunes, 10 de noviembre de 2014

Los primeros filósofos jonios: Tales de Mileto


Tales de Mileto
La mezcla del filósofo y del científico práctico se ve muy claramente en el caso de Tales de Mileto. Dícese que Tales predijo el eclipse de sol que, según Heródoto, se produjo al final de la guerra entre los lidios y los medos. Calculan los astrónomos que un eclipse que fue probablemente visible en Asia Menor ocurrió el 28 de mayo de 585 a.C. Por tanto, si la tradición acerca de Tales es verdadera, y si el eclipse que él predijo fue el del año 585, debió de florecer nuestro sabio durante la primera parte del siglo VI a.C. Se dice que murió poco antes de la caída de Sardes, en 546-545 a.C. Entre otras actividades científicas que se le atribuyen a Tales figura la elaboración de un almanaque y la introducción de la práctica fenicia de orientarse por la Osa Menor en las navegaciones. Las anécdotas que a propósito de él se refieren y que pueden leerse en la vida de Tales escrita por Diógenes Laercio, por ejemplo, lo de que cayó a un pozo mientras estaba contemplando las estrellas, o lo de que, en previsión de una cosecha de olivas, almacenó gran cantidad de aceite, tal vez no pasaran de ser historias del tipo de las que tan fácilmente se originan en torno a los sabios famosos.
En su Metafísica afirma Aristóteles que, según Tales, la tierra está sobre agua (por lo que parece, se la imaginó a la manera de un delgado disco flotante). Pero el punto de mayor importancia es que Tales declaró que el elemento primario de todas las cosas es el agua; o sea que, de hecho, planteó la cuestión del Uno en todo. Supone Aristóteles que la observación pudo haberle llevado a Tales a esta conclusión:”llegado a dicho concepto quizás al ver que todas las cosas se nutren de lo húmedo, y que el calor mismo se genera a partir de la humedad y por ella se conserva (y que aquello a partir de lo cual vienen las cosas al ser es principio de todas ellas). De este hecho sacó su noción, así como del hecho de que las simientes de todas las cosas tienen una naturaleza húmeda, y el agua es el origen de la naturaleza de las cosas húmedas”. Aristóteles sugiere también, aunque a decir verdad, sin mostrarse muy seguro de ello, que Tales fue influido por las teologías más antiguas, en las que el agua -como la Estigia de los poetas- era objeto de juramento entre los dioses. Sea como fuere, está claro que el fenómeno de la evaporación sugiere que el agua puede transformarse en niebla o en aire, mientras que el fenómeno de la congelación puede sugerir que, si el proceso se continuara, el agua llegaría a hacerse tierra. En todo caso, la importancia de este pensador primitivo consiste en que él fue quien planteó la cuestión acerca de cuál sea la naturaleza última, fundamental, del mundo, y no en la respuesta que él diese de hecho a tal pregunta, ni en las razones con que apoyara su respuesta, fueran las que fuesen.
Otra afirmación atribuida a Tales por Aristóteles la de que todo está lleno de dioses, o que el imán tiene un alma, por que mueve el hierro, es imposible interpretarla con certeza. Decir que tal afirmación equivale a afirmar la existencia de un alma del mundo, e identificar luego esa alma del mundo con Diós o con el Demiurgo platónico -como si este último hubiese formado todas las cosas a partir del agua, es ir demasiado lejos en cuanto a libertad interpretativa. El único punto cierto y realmente importante de la doctrina de Tales es que él concebía “las cosas” como cambiantes formas de un primario y último elemento. Que designase el agua como este elemento es la característica histórica que le distingue, por así decirlo; pero lo que le granjea su rango de primer filósofo griego es el hecho de haber sido él el primero en concebir la noción de la Unidad en la Diversidad (aunque ciertamente, ciertamente, no aislase la noción en el plano lógico), y el que aun aferrándose a la idea de la unidad intentara explicar las evidentes diferencias que se reciben en lo múltiple. La filosofía, naturalmente, trata de entender la pluralidad que experimentamos, su existencia y su naturaleza, el “entender” significa aquí, para el filósofo, descubrir una unidad a primer principio subyacente. Lo complicado del problema no puede advertirse mientras no se ha comprendido con claridad la radical distinción entre la materia y el espíritu: antes de haber penetrado en tal distinción (y aun después de haberlo conseguido, si, una vez “comprendida”, se la niega), las soluciones que se den al problema han de ser forzosamente simplistas: se concebirá la realidad como una unidad material (al modo del pensamiento de Tales) o como una Idea (al modo como la conciben ciertas filosofías modernas). Soló se puede responder adecuadamente a la complejidad del problema de lo Uno y lo Múltiple si se entienden bien y se afirman sin ambajes los grados esenciales de lo real y la doctrina de la analogía del ser; de lo contrario, la riqueza de lo múltiple será sacrificada a una unidad falsa y concebida más o menos arbitrariamente.
Cabe en lo posible que la observación concerniente al imán concebido como un ser vivo, atribuida por Aristóteles a Tales, represente la persistencia de un animismo primitivo en el que la noción del alma-fantasma (el espectro, la imagen o el “doble” de un hombre que se percibe en los sueños) se hubiesen hecho extensiva a la vida orgánica infrahumana y hasta a las fuerzas del mundo inorgánico; pero, aunque así fuera, no pasaría de ser un vestigio, puesto que en Tales vemos la transición desde el mito a la ciencia y a la filosofía y por ello conserva su carácter tradicional de iniciador de la filosofía griega.

domingo, 9 de noviembre de 2014

El camino a la teoría de la evolución


Es bien sabido que Darwin fue el fundador de la teoría moderna de la evolución. Aunque no fue el primero en proponer que los organismos evolucionan, o cambian, a lo largo del tiempo, sí fue el primero en acumular una cantidad importante de evidencias en apoyo de esto y en proponer un mecanismo válido por el cual podría ocurrir la evolución. Para comprender el significado y la importancia de la teoría de Darwin es útil echar un vistazo al clima intelectual en el cuál él la formuló.
La historia se remonta a muchos siglos atrás. Aristóteles (384-322 a.C), el primer gran naturalista, creía que todos los seres vivos podían ser ordenados en una jerarquía. Esta jerarquía se conoció como la Scala Naturae, o Escala de la Naturaleza, en la cual las criaturas más simples tenían una posición humilde en el peldaño más bajo, el hombre ocupaba el peldaño más alto, y todos los otros organismos ocupaban lugares adecuados entre estos extremos. Hasta finales del siglo XIX, muchos biólogos creyeron en esa jerarquía natural. Pero, mientras para Aristóteles los organismos vivos habían existido siempre, los biólogos posteriores (al menos los del mundo occidental) creían, de acuerdo con las enseñanzas del Antiguo Testamento, que todos los seres vivos eran producto de la creación divina. Es más, creían, que la mayoría había sido creada para el servicio o el placer de la humanidad.
La idea de que cada tipo de ser vivo surgió tal como es actualmente -que fue creado especial y específicamente- era una idea apremiante. ¿De qué otro modo podría uno explicar el sorprendente grado en el cual cada ser vivo estaba adaptado a su ambiente y a su papel en la naturaleza? No fue solamente la autoridad de la Iglesia, sino también, según parecía, la evidencia ante los propios ojos, la que confería tal fuerza al concepto de creación especial.
Entre aquellos que creían en la creación divina estaba Carl von Linné (1707-1778), el gran naturalista sueco que ideó el sistema actual de nomenclatura para las especies o grupos de organismos. En 1753, Linné publico Species Plantarum que describía en dos volumenes enciclopédicos cada especie de planta conocida en esa época. En el momento en que Linné estaba trabajando en este proyecto masivo, había exploradores que regresaban a Europa desde Áfica y el Nuevo Mundo con plantas no descritas previamente y con animales desconocidos, y aun, aparentemente, con nuevos tipos de seres humanos. Linné revisó edición tras edición para dar cabida a estos hallazgos, pero no cambió su opinión de que todas las especies existentes hasta ese momento habían sido creadas en el sexto día del trabajo de Diós y habían permanecido fijas desde entonces. Durante la época de Linné, sin embargo, se hizo claro que el patrón de la creación era mucho más complejo que el que había sido pensado originalmente.

sábado, 8 de noviembre de 2014

Los años de la conquista


Introducción a la historia de México

 Los relatos tradicionales de la historia mexicana dan por sentado que la época colonial, también llamada novohispana o virreinal, se inició tras la caída de México-Tenochtitlan en 1521. Pero tal precisión cronológica no es aplicable a la mayor parte del país ni a su transcurso económico, social o demográfico. Junto a los acontecimientos que implicaron un cambio radical o de valor simbólico hubo otros que se manifestaron de modo menos visible o en forma gradual. Así, antes que nada, hay que advertir que los primeros años de la época colonial discurrieron en un escenario de cambios y continuidades.
La caída de México-Tenochtitlan en 1521 no marca un lindero absoluto o incontrovertible entre un antes y un después. Debe verse sólo como un episodio sobresaliente dentro de una compleja cadena de hechos que dieron forma a un periodo que se ha definido como la conquista, entendiendo como tal no sólo el sometimiento de una ciudad sino las muchas manifestaciones de la llegada de los españoles, la respuesta a ello, los enfrentamientos, los modos y, en fin, las consecuencias inmediatas del proceso que abarcó, según se trate de asuntos políticos, económicos o de otro tipo, desde 1519 o antes hasta alrededor de 1560. Aún habrían de pasar otros cincuenta años para que el producto de la conquista, o sea la Nueva España, dejara atrás los años de su periodo fundacional para entrar en una fase de madurez.

Copérnico y la Tierra en movimiento



En este ambiente intelectual Nicolás Copérnico (1473-1543), astrónomo polaco, formuló su teoría sobre el movimiento de la Tierra. Dedujo que la forma más sencilla de explicar los movimientos observados del Sol, la Luna y los planetas por el cielo es suponiendo que la Tierra y otros planetas describen círculos alrededor del Sol. Durante años desarrolló sus ideas sin hacerlas públicas, por dos razones fundamentales. La primera fue que tenía miedo de ser perseguido; una teoría tan distinta de la opinión común con seguridad se tomaría como un ataque al orden establecido. La segunda razón fue que él mismo tenía serias dudas, porque no podía reconciliar la idea de una Tierra en movimiento con las ideas que prevalecían acerca del movimiento. Finalmente, en los últimos días de su vida, y por la insistencia de sus amigos más íntimos, mandó a la imprenta su De Revolutionibus. El primer ejemplar de su famosa exposición llegó a él el día de su muerte: el 24 de mayo de 1543.
La mayoría de nosotros conoce la reacción de la Iglesia medieval contra la idea de que la Tierra viaja alrededor del Sol. Como las ideas de Aristóteles se habían integrado de manera tan formidable a la doctrina de la Iglesia, contradecirlas era cuestionar a la Iglesia misma. Para muchos dignatarios del clero la idea de una Tierra en movimiento no sólo amenazaba su autoridad, sino también las bases mismas de la fe y de la civilización. Para bien o para mal, esta nueva idea iba a derrumbar su concepción del Cosmos, aunque a final de cuentas la Iglesia la adoptó.

viernes, 7 de noviembre de 2014

El helio primordial y la teoría del Big Bang




¿De donde venimos? ¿Como se originó el universo? Los seres humanos nos hemos echo estas preguntas desde que tenemos capacidad de raciocinio. La búsqueda de respuestas constituye un ejemplo del método científico.
En el decenio de 1940, el físico ruso-estadounidense George Gamow planteó la hipótesis de que el universo se inició miles de millones de años atrás con una explosión gigantesca, el Big Bang. En esos primeros momentos, el universo ocupaba un volumen diminuto y su temperatura era más alta de la imaginable. Esta brillante bola de fuego de radiación mezclada con partículas microscópicas de materia se enfrió gradualmente, hasta que se formaron los átomos. Por la influencia de la fuerza de gravedad, estos átomos se agruparon para formar miles de millones de galaxias, incluida la nuestra, la Vía Láctea.
El concepto de Gamow es interesante y muy provocativo. Se a puesto a prueba experimentalmente de diversas maneras. Por principio de cuentas, las mediciones demostraron que el universo está en expansión, es decir, que las galaxias se alejan unas de otras a gran velocidad. Este hecho es compatible con el nacimiento explosivo del universo. Al imaginar tal expansión en retroceso, como cuando se rebobina una película, los astrónomos han deducido que el universo se inició hace unos 13 000 millones de años. La segunda observación que sustenta la hipótesis de Gamow es la detección de radiación cósmica de fondo. A lo largo de miles de millones de años, ¡el universo inimaginablemente caliente se ha enfriado hasta una temperatura de 3K (o sea, -270°C)! A esta temperatura, gran parte de la energía corresponde a la región de microondas. Puesto que el Big Bang habría ocurrido simultáneamente en todo el diminuto volumen del universo en formación, la radiación que generó debe haber llenado todo el universo. Así pues, la radiación debe ser la misma en todo el universo que observamos. De hecho, las señales de microondas que registran los astrónomos son independientes de la dirección.
El tercer dato que sustenta la hipótesis de Gamow es el descubrimiento del Helio primordial. Los científicos piensan que el helio y el hidrógeno (elementos más ligeros) fueron los primeros que se formaron en las etapas iniciales de la evolución cósmica. (Se cree que otros elementos más pesados, como el carbono, nitrógeno y oxígeno, se formaron más adelante por reacciones nucleares en las que participaron el hidrógeno y el helio, en el centro de las estrellas.) De ser así, un gas difuso formado por hidrógeno y helio se habría diseminado por todo el universo naciente antes de que se formaran muchas de las galaxias. En 1955, los astrónomos que analizaron la luz ultravioleta proveniente de un lejano quasar (poderosa fuente de luz y de señales de radio que se considera como una galaxia en explosión al borde del universo) descubrieron que una parte de la luz era absorbida por los átomos de helio en su trayectoria a la Tierra. Puesto que el quasar en cuestión de dista de nuestro planeta más de 10 000 millones de años luz (un año luz es la distancia que recorre la luz en un año), la luz que llega a la Tierra corresponde a fenómenos que ocurrieron hace más de 10 000 millones de años. ¿Por qué el hidrógeno fue el elemento más abundante que se detectó? El átomo de hidrógeno tiene un solo electrón, que se desprende por la luz de un quasar en el proceso llamado ionización. Los átomos de hidrógeno ionizados no pueden absorber en absoluto la luz del quasar. Por otra parte, el átomo de helio tiene dos electrones. La radiación puede quitarle al helio uno de sus electrones; pero no siempre ambos. Los átomos de helio ionizados todavía absorben luz y, por lo tanto, son detectables.
Los defensores de la explicación de Gamow se regocijaron ante la detección de helio en los confines distantes del universo. En reconocimiento de todos los datos sustentadores, los científicos ahora se refieren a la hipótesis de Gamow como la teoría del Big Bang.

jueves, 6 de noviembre de 2014

Biografia de Karl Friedrich Gauss


 Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

 Fue un matemático y científico alemán. Algunas veces nombrado “Príncipe de los matemáticos”. Gauss es considerado junto con Isaac Newton y Arquímides como uno de los tres más grandes matemáticos que han existido. En toda la historia de las matemáticas quizá nunca ha habido un niño tan precoz como Gauss: según cuenta él mismo, ya dominaba las bases de las matemáticas aún antes de poder hablar. Un día cuando aún no tenía tres años de edad, su genio se manifestó a sus padres de manera bastante elocuente. Su padre estaba preparando la nómina semanal de los obreros a su cargo mientras el niño observaba en silencio desde un rincón de la habitación. Al final de los cálculos largos y tediosos, Gauss dijo a su padre que había un error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que había llegado mentalmente. Para sorpresa de sus padres, !al comprobar los cálculos se dieron cuenta de que Gauss tenía razón!
En su disertación doctoral, Gauss proporciono la primera demostración completa del teorema fundamental del álgebra, que establece que toda ecuación polinómica tiene cuando mucho tantas soluciones como su grado. A los 19 años de edad resolvió un problema que desconcertó a Euclides: inscribir un polígono regular de 17 lados en una circunferencia usando sólo regla y transportador; y en 1801, a los 24 años de edad, publicó su primera obra maestra, Disquisitiones Arithmeticae, considerada por muchos como uno de los logros más brillantes en matemáticas. En este documento, Gauss sistematizó el estudio de la teoría de números (propiedades de los enteros) y formuló los conceptos básicos que constituyen los cimientos de ese tema.
Entre la multitud de logros alcanzados, Gauss descubrió la curva “acampanada”o gaussiana que es fundamental en probabilidad, proporcionó la primera interpretación geométrica de los números complejos y estableció el papel fundamental de éstos en las matemáticas, desarrolló métodos para caracterizar superficies intrínsecamente por medio de las curvas contenidas en aquéllas, desarrolló la teoría del mapeo conforme (que preserva ángulos) y descubrió la geometría no euclidiana 30 años antes de que estas ideas fueran publicadas por otros. En física realizó contribuciones esenciales a la teoría de las lentes y a la acción capilar, y junto con Wilhelm Weber realizó trabajo fundamental en electromagnetismo. Gauss inventó el heliotropo, el magnetómetro bifilar y el electrotelégrafo.
Gauss era profundamente religioso y se comportaba como aristócrata. Dominaba fácilmente otros idiomas, leía bastante y disfrutaba la mineralogía y la botánica como pasatiempos. No le agradaba dar clases y solía ser frío y poco alentador con otros matemáticos, quizá por que ya había anticipado el trabajo de éstos. Se ha afirmado que si Gauss hubiera publicado todos sus descubrimientos, el estado actual de las matemáticas habría avanzado 50 años. Sin duda alguna es el matemático más grande de la época moderna.